Maximos y Minimos - Absolutos y Relativos - Punto de inflexion

Maximos y Minimos

Definicion: 

Los maximos y minimos de una funcion de dos variables nos permiten medir las altitudes maximas y minimas sobre la superficie que integra la grafica de la funcion (Son parecidas al punto mas alto de una colina y el mas bajo de una hondeada).
Se podria decir que los maximos y los minimos son valores criticos de la funcion donde hay un punto maximo y un punto minimo.

En que consisten

En 1637 Fermat escribió una memoria titulada Methodus ad disquirendam maximan et minimam (“Método para la investigación de máximos y mínimos”). En ella se establecía el primer procedimiento general conocido para calcular máximos y mínimos. Fermat se expresa como sigue.

Toda la teoría de la investigación de máximos y mínimos supone la consideración de dos incógnitas y la única regla siguiente:

1. Sea a una incógnita cualquiera del problema (que tenga una, dos o tres dimensiones, según convenga al enunciado). 2. Se expresará la cantidad máxima o mínima por medio de a en términos que pueden ser de cualquier grado.

3. Se sustituirá a continuación la incógnita original a por a C e, y se expresará la cantidad máxima o mínima por medio de a y e, en términos que pueden ser de cualquier grado. 4. Se “adigualará” para hablar como Diofanto, las dos expresiones de la cantidad máxima o mínima.

5. Se eliminarán los términos comunes de ambos lados, tras lo cual resultará que a ambos lados habrá términos afectados de e o de una de sus potencias. 6. Se dividirán todos los términos por e, o por alguna potencia superior de e, de modo que desaparecerá la e, de al menos uno de los términos de uno cualquiera de los dos miembros. 7. Se suprimirán, a continuación, todos los términos donde todavía aparece la e o una de sus potencias, y se iguala lo que queda, o bien si en uno de los miembros no queda nada, se igualará, lo que viene a ser lo mismo, los términos afectados con signo positivo a los afectados con signo negativo.

8. La resolución de esta última ecuación dará el valor de a, que conducirá al máximo o mínimo, utilizando la expresión original.

Absolutos y Relativos

Maximo Absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Maximo y Minimo Relativo
Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.

Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.
Punto de Inflexion

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.

En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.

¿Como se Obtiene? 

En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesivas hasta que nos dé un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es. Más concretamente:

1. Se halla la primera derivada de 
2. Se halla la segunda derivada de 
3. Se halla la tercera derivada de 
4. Se iguala la segunda derivada a 0: 
5. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: .
6. Se halla la imagen de cada sustituyendo la variable dependiente en la función.
7. Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada :
   1. Si , se tiene un punto de inflexión en .
   2. Si , debemos sustituir  en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que  no sea nulo, hay que ver qué derivada es:
      1. Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión.
      2. Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión.